Question

设函数f（x）对任一实数x满足f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x），且f（0）=0

求证：f（x）=0在区间【-30,30】上至少有13个根，且f（x）的周期为10.
完了，一个都看不懂，我高一啊，能不能详细一点，十分感谢强人们啊~~~~

Answer 1

f（2+x）=f（2-x）即x=2是f（x）一个对称轴。f（7+x）=f（7-x）即x=7是f（x）一个对称轴。因此x=12也是f（x）一个对称轴。因此周期为10。以此类推，在区间【-30,30】上f（x）至少有六个正根六个负根再加上x=0共13个

Answer 2

解：f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x）
f（x）=f（4-x） f（x）=f（14-x）
f（4-x）=f（14-x）
f（4-（4-x））=f（14-（4-x））
f（x）=f（x+10）f(x)周期是10
f（0）=0 则f（10）=f（20）=f(30）=f（-10）=f（-20）=f(-30)=0
f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x），说明x=2,7是函数的对称轴。
则f（0）=f（4）=（-2）=f（14）=f（5）=f(9)=f（-5）f（x）=0在区间【-30,30】
所以f（x）=0在区间【-30,30】上至少有13个根，且f（x）的周期为10。

Answer 3

补充
由f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x）
令x=5+y 则 f(10+2+y)=f(12+y)=f(7+x)=f(7-x)=f(2-y)①
又 f（2+x）=f（2-x）②
由①②式推得 周期为10
（周期T的定义 f(x+T)=f(x)）

令x=2 f(4)=f(0)=0 然后周期是10 于是f(4)=f(14)=f(24)=f(0)=0
f(4)=f(-6)=f(-16)=f(-26)=0
根据f(2+x)=f(2-x) ∴f(14)=f(2+12)=f(2-12)=f(-10)
f(-10)=f(-20)=f(-30)=f(10)=f(20)=f(30)
就已知条件可以推得 f(4)=f(14)=f(24)=f(0)=f(-6)=f(-16)=f(-26)=f(-10)=f(-20)=f(-30)=f(10)=f(20)=f(30) =0 13个。。。。

Answer 4

由题意得，f(x)=f(2+x-2)=f(4-x);f(x)=f(7+x-7)=f(14-x);所以f(4-x)=f(14-x），带入4-x得f(x)=f(x+10)
因为f(0)=0,所以f(4)=0,又f(x)以10为周期，故f(-30)=f(-20)=f(-10)=f(0)=f(10)=f(20)=f(30)=0,f(-26)=f(-16)=f(-6)=f(4)=f(14）=f(24)=0,所以f(x)=0在区间【-30,30】上至少有13个根，且f(x)的周期为10

Answer 5

f（2+x）=f（2-x），x=2,f(4)=f(0),
f（7+x）=f（7-x），x=7,f(7)=f（0）,
f（2+x）=f（2-x），x=5,f（7)=f(-3)
f（7+x）=f（7-x），x=3,f(10)=f（4）=f(0)
同理可推f(-6)=f(20)=f(-16)=f(30)=f(-26)=f(14)=f(-10)=f(0)且f（0）=0 ,所以至少13根。
f（2+x）=f（2-x），x=5+x,f(7+x)=f(-3-x)=f(7-x），令x=-3-x,f(x）=f(10+x),周期为10