Question

.已知函数f(X)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.

.已知函数f(X)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
（1）求k的值；
（2）若函数y=f(x)的图像与直线y=2分之1X+b没有交点，求实数b的取值范围；
（3）设h（x）=log9（a.3X平方-3分之4a），若函数f（x）与h（x）的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围。

Answer 1

解答：解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（-x），
即log9（9-x 1）-kx=log9（9x 1） kx对于∀x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x 1)-log9(9x 1)=log9
9x 1
9x
-log9(9x 1)=-x恒成立
即（2k 1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-
1
2
．
（2）由题意知方程log9(9x 1)-
1
2
x=
1
2
x b即方程log9（9x 1）-x=b无解．
令g（x）=log9（9x 1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log9
9x 1
9x
=log9(1
1
9x
)
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则0＜9x1＜9x2，从而
1
9x1
＞
1
9x2
．
于是log9(1
1
9x1
)＞log9(1
1
9x2
)，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（-∞， ∞）是单调减函数．
因为1
1
9x
＞1，所以g(x)=log9(1
1
9x
)＞0．所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程3x
1
3x
=a•3x-
4
3
a有且只有一个实数根．
令3x=t＞0，则关于t的方程(a-1)t2-
4
3
at-1=0（记为（*））有且只有一个正根．
若a=1，则t=-
3
4
，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△=0⇒a=
3
4
或-3；但a=
3
4
⇒t=-
1
2
，不合，舍去；而a=-3⇒t=
1
2
；
方程（*）的两根异号⇔（a-1）•（-1）＜0⇔a＞1．
综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1， ∞）．

Answer 2

(1)由f(-x)=f(x)得(9^(-x)+1)/(9^x+1)=9^(2kx)，
9^(-x)+1=9^(2kx+x)+9^(2kx)，
k=-1/2
(2)log9(9x+1)－x/2=1/2x+b等价于9^x+1＝9^(x+b)，移项得1＝9^x（9^b-1），即9^(-x)＝9^b-1
函数y=9^(-x)的值域是（0，+无穷），所以方程9^(-x)＝9^b-1无解只有9^b-1<=0
只有9^b-1<=0，从而b<=0
(3)第三问还没写出来，呵呵

Answer 3

(3)f(x)可化为log9(3^x+3^(-x)),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即方程
f(x)=h(x)有唯一解。

3^x+3^(-x)=a*3^x-4a/3

(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0有唯一解

当1-a=0即a=1时无解，

当a不等于1时二次方程判别式为0，即(4a/3)^2-4(1-a)=0

a=-3或a=3/4.但a=3/4时，

经检验(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0无解。

要使函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，

a只能取为a=-3.