Question

求证：n是任意自然数，n的平方+n+2都不能被5整除。

求证：n是任意自然数，n的平方+n+2都不能被5整除。

Answer 1

自然数除5余数可能是0,±1,±2
若n=5k
则n^2+n+2=25k^2+5k+2,25k^2+5k能被5整除，所以25k^2+5k+2不能被5整除
若n=5k±1
则n^2+n+2=25k^2±10k+1+5k±1+2=25k^2±10k+5k+3±1,25k^2±10k+5k能被5整除,3±1不能被5整除，所以25k^2±10k+5k+3±1不能被5整除
若n=5k±2
则n^2+n+2=25k^2±20k+4+5k±2+2=25k^2±20k+5k+6±2,25k^2±20k+5k能被5整除,6±2不能被5整除，所以25k^2±20k+5k+6±2不能被5整除
综上，n^2+n+2不能被5整除

Answer 2

n^2+n+2
=n^2+n+1/4+2-1/4
=(n+1/2)^2+7/4
=1/4[(2n+1)^2+7]
2n+1表示奇数
奇数1，3，5，7，9的平方个位数分别是1，9，5，9，1
与7的和的个位也是8，6，2，6，8
不能被5整除
所以n的平方+n+2都不能被5整除

Answer 3

设n=10m+k（m为自然数，k为自然数）
n²+n+2=100m²+20mk+10m+k（k+1）+2
而0×1=0，1×2=2,2×3=6,3×4=12,4×5=20,5×6=30,6×7=42,7×8=56,8×9=72
∴，k∈N，k（k+1）的尾数不可能为3或8
∴原命题成立

Answer 4

设 n=5k+r （r=0,1,2,3,4);
n^2+n+2=25k^2+10rk+r^2+5k+r+2
除5余
r^2+r+2
又r=0,1,2,3,4
r^2+r+2为2，4，8，14，22
都不是5的倍数
所以n^2+n+2不能被5整除

Answer 5

不能，如0