Question

已知函数y=x+a/x有如下性质：如果常数a＞0,那么该函数在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数

（1）如果函数y=x+(2^b)/x(x>0)在(0,4]上是减函数，在[4,+∞)上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+c/x(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=x^n+c/(x^n)(c>0)的单调性，并说明理由。

Answer 1

（1）√(2^b)=4
b=4
（2）f(x)=x+c/x在(0,√c]上是减函数，√c∈[1,2],
所以最小值为f(√c)=2√c
f(1)=1+c f(2)=2+c/2
所以当c∈[1,2]时最大值为f(2)=2+c/2,c∈[2,4]时最大值是f(1)=1+c
（3）当n是正整数时，x^n在R上单调递增,
令x^n=m,则g(m)=m+c/m在m∈(0,√c]上是减函数，在[√c,+∞)上是增函数
当x^n=√c时,x=c^(1/2n)
所以g(x)在(0,c^(1/2n)]上是减函数，在[c^(1/2n),+∞)上是增函数

Answer 2

1),由题y=x+2^b/x在(0,√2^b]上是减函数,在[√2^b,+∞)上是增函数
所以√2^b=4,b=4
2)因为1=<√c=<2,所以f(x)在[0,√c]身上时减函数，在【√c，2】上递增
因此最小值为f(√c)=2√c,最大值为max{f(1),f(2)}=max{1+c,2+c/2}(max表示多括号内两个值取最大值)，因为2+c/2-(1+c)=1-c/2
所以当1=<c=<2时，最大值为2+c/2,当2=<c=<4时，最大值为1+c
3)我们只考虑x>0时g(x)的单调性
因为g(x)'=nx^(n-1)-nc/x^(n+1)
=n[x^(2n)-c]/x^(n+1)
我们知道当g(x)'=<0，即0<x=<c^(1/2n)时，g(x)为减函数
当g(x)'>=0，即c^(1/2n)=<x<+∞时，g(x)为增函数
当x<0时可同样讨论

Answer 3

1，b=4
2，最小值2√c
最大值 x+1 c∈(2,4]
2x+x/2 c ∈[1,2)
3 设 想x^n=z
z+c/z 在(0,√c]上是减函数，在[√c,+∞)上是增函数
z=√c x^n=√c x=c^(1/2n)
在(0,c^(1/2n)]上是减函数，在[c^(1/2n),+∞)上是增函数