Question

问数学题！！

函数f（x）=x平方（0＜x＜1），其在点M（t,f(t)）的切线为l,l与x轴和直线x=1分别交于点PQ，点N（1，0），设△PQN的面积为S=g（t），（1）求g(t)表达式，（2）若g(t)在区间（m，n）上单增，求n最大值（3）若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，求b取值

Answer 1

因为f（x）=x^2,所以f ‘（x）=2x，所以点M（t,f(t)）的切线为l：y=2tx-t^2.
所以P（t/2，0）Q（1，2t-t^2）
由题意0＜x＜1知t>0,2t-t^2>0
因为N（1，0），所以NQ=2t-t^2，又因为PN=1-t/2
所以g(t)=S△PQN=1/2NQ*PN=t/4*（t-2）^2 (0<t<1)
因为g '(t)=1/4(3t^2-8t+4)=1/4(3t-2)(t-2)=0
解得t1=2，t2=2/3.
又因为当0<t<2/3时，g '(t)>0,所以g(t)在（0，2/3）上递增。
当2/3<t<1时，g '(t)<0,所以g(t)在（2/3，1）上递减。
又因为g(t)在区间（m，n）上单增，所以n最大值为2/3。
因为当0<t<2/3时，g(t)在（0，2/3）上递增，0<g(t)<8/27.
当2/3<t<1时，g '(t)<0,所以g(t)在（2/3，1）上递减,8/27>g(t)>1/4.
所以若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，即存在t1，t2，使得g(t1)=g(t2)。
所以t1<2/3<t2.
所以当8/27>b>1/4时，使得△PQN的面积为b时的点M恰好有两个。
所以1/4<b<8/27.