Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为AC中点,AE⊥BD于点E,AE交BC于点F,求证:∠ADB＝∠CDF

Answer 1

证明：
过C作CM//AB交AF的延长线于M
因为∠BAC＝90°
所以∠BAE＋∠DAE＝90°，
因为∠BAE＋∠ABE＝90°
所以∠ABE＝∠DAE
因为CM//AB，∠BAC＝90°
所以∠ACM＝90°
又因为AB＝AC
所以△BAD≌△ACM（ASA）
所以AD＝CM，∠ADB＝∠M
因为D是AC的中点
所以AD＝CD
所以CD＝CM
因为∠ACM＝90，∠ACB＝45
所以∠ACB＝∠BCM＝45
又因为CF＝CF
所以△DCF≌△MCF（SAS）
所以∠CDF＝∠M
所以∠ADB=∠CDF

Answer 2

解：作CM∥AB并与AF延长线交于点M
∵AE⊥BD
∴∠AFB=90°
∴∠ABF+∠BAF=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠CAE=90°
∴∠ABF=∠CAE
∵AB=AC ∠ABC=90° CM∥AB
∴∠ABC=∠ACB=∠BCM=45°
∴∠ACM=90°
∴∠ACM=∠BAD
∴△ABD≌△CAM（ASA）
∴∠ADB=∠CMA AD=CM
∵点D是AC中点
∴AD=CD
∴CD=CM
又∵∠ECD=∠ECM
∴△ECD≌△ECM（SAS）
∴∠EDC=∠EMC
∵∠ADB=∠EMC
∴∠ADB=∠CDE