Question

有个组合数学的问题： n个不同的自然数分成m组, 每组至少k个, 有多少种可能？ 哪位能指教下啊？

Answer 1

将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+.......+nk，其中n1>=n2>=....>=nk>=1,k>=1。

正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同的划分个数称为正整数n的划分数，记作P(n)

例如正整数6有如下11种不同的划分，所以p(6)=11。

6；

5+1；

4+2，4+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1；

在正整数n的所有不同的划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。

(1) q(n,1)=1,n>=1;

当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即n=1+1+1+...+1（n个1）。

(2) q(n,m)=q(n,n) ,m>=n;

最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。

(3) q(n,n)=1+q(n,n-1);

正整数n的划分由n1=n的划分和n1<=n-1的划分组成。

(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1;

正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成。

以上的关系实际上给出了计算q(n,m)的递归式如下：

1 n=1,m=1

q(n,n) n<m

1+q(n,n-1) n=m

q(n,m-1)+q(n-m,m) n>m>1