Question

为什么一个函数的导函数有界，则这个函数就有界啊

不好意思，漏了一个条件，就是这是在f'(x)在区间(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界
李永乐的书是用拉格朗日中值定理证的，但|f(x)|<=|f‘(ξ)(x-x0)|+|f(x0)|只能说明在该区间中任意两个点的函数值相差的值有界啊，即使是无界函数，一旦确定两点，那他们之间的距离必然是个定值，自然有界啊？还望那位高人给我解释一下

Answer 1

如果是有界函数 那么任意点的取值都是一个确定值而非无穷 所以任意两个点的差必定有界。

但是对无界函数来说 任意点是包含函数值为无穷大的点的，一旦确定两点，那他们之间的距离必然是个定值是没错， 但是任意点可以选得更远的 ，没有最远只有更远，直到无穷大，这样取下去永远都不能取到一个确定的最远，这就是无界了。

扩展资料：

若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2)．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

参考资料来源：百度百科-有界

Answer 2

楼主可能没能确切的理解任意点的含义
如果是有界函数 那么任意点的取值都是一个确定值而非无穷 所以任意两个点的差必定有界
但是对无界函数来说 任意点是包含函数值为无穷大的点的 你说一旦确定两点，那他们之间的距离必然是个定值是没错， 但是任意点可以选得更远的 没有最远 只有更远 直到无穷大 这样取下去永远都不能取到一个确定的最远 这就是无界了

Answer 3

导函数应该是敛函数，该结论才成立

Answer 4

提示：用拉格朗日中值定理来证明