Question

高一数学值域问题，求解~~

设分段函数 f(x)=x^2,x的绝对值≥1，f(x)=x,x的绝对值＜1，g(x)是二次函数，f(g(x))的值域是【0，+∞），求g(x)值域
但为什么答案是【0，+∞）

Answer 1

值域问题是高中函数的一个精华问题。
有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题，值域反求定义与问题（即反函数求定义域）……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。
首先要着重说的是：求值域，必先看定义域。所有函数都是如此。
1.单调性法
利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时，可用定义域来求解。
e.g.1
y=x-√（1-2x).求值域。
解：1-2x≥0,得x≤1/2.
观察得，函数在指定区间内为增函数，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2.
所以值域为（-∞，1/2]。
2.判别式法。适用于y是x的2次函数的情况。且x∈R.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解：将原式变形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.
因为y=1时，推出y=0.即x∈Φ
所以y≠1.
x∈R，即此式恒有根，所以Δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因为y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
注：此法可用的原因：化成x的式子后发现，x∈R对该式都成立，也就是说有这样的x,一定可以为根，要y来配合。此式由无穷个根，即如果你给了合适的y后，在式子中总能找到x解。那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足x∈R成立，即判别式大于等于0.
3.分离常数法。适用于分母分子有相同的形式的部分，然后用观察法（单调性法）
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因为sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知项（含x项）用y来表示，要知道未知项的范围。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解：变形得3^x(1-y)=y.讨论
当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因为此式小于1）所以y≠1,
则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y）是等同的。那么他们的范围也就等同。也就是说y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).
5.几何意义法。题干的形式会让我们产生联想。如想到斜率、两点间距离公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定义域，全体实数。那么不用管了。
变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的几何意义是（x,0)点到点（0，1）的距离与（x.0)点到点（2，2）的距离的和。画出图像，观察知，当（x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时，有最小值。
解直线与x轴交点，得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解：变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反数。画图，观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3].
所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的话，可能有些东西你还没接触到，理解的会差一些。没关系，不出几个月，你就都能学到了。
除了上面我介绍的几种方法外，还有什么换元法，上下同除法，平方去根号法，导数法等等。但最常用的还是上面那几个。

Answer 2

∵f(g(x))的值域是【0，+∞）
∴当f(x)=x,x的绝对值＜1时，g(x)值只能小于一大于零
∵ f(x)=x^2,x的绝对值≥1时，不论g(x)为何值，f(g(x))的值域是【0，+∞）均成立
∴g(x)值域为（－∞，－1］∪［0，＋∞）

Answer 3

先画出分段函数的图象，结合图象，f(g(x))的值域是【0，+∞），也就是分段函数 f(x)的定义域为【0，+∞）或x<=-1，从而得到g(x)值域为【0，+∞），或（-∞，-1》