如图,已知△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于D交BC于E,连BD和CD。求证： （1）AB*AC=AE*AD
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（1）∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC
又△ABC和△ADC同圆共边
∴∠ABC =∠ADC
可知，△ABE与△BDC相似，则AB/AD=AE/AC
即AB*AC=AE*AD
（2）由AD是∠BAC的角平分线
可知其对应弦长BD=DC
而三角形DBC和DAC同圆共边，∴∠DBC=∠DAC=∠BAD
所以，△ABD与△BDE相似
BD/AD=(AD-AE)/BD即BD*BD+AD*AE=AD*AD
又AB*AC=AE*AD
∴BD*DC+AB*AC=AD²
∴∠BAD=∠DAC
又△ABC和△ADC同圆共边
∴∠ABC =∠ADC
可知，△ABE与△BDC相似，则AB/AD=AE/AC
即AB*AC=AE*AD
（2）由AD是∠BAC的角平分线
可知其对应弦长BD=DC
而三角形DBC和DAC同圆共边，∴∠DBC=∠DAC=∠BAD
所以，△ABD与△BDE相似
BD/AD=(AD-AE)/BD即BD*BD+AD*AE=AD*AD
又AB*AC=AE*AD
∴BD*DC+AB*AC=AD²
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