Question

正方体ABCD-A"B"C"D"中，二面角B-A"C-A的大小为？

Answer 1

解：设该正方体的棱长为a。
由已知，△A"BC为Rt△，且A"C = √3 a ，A"B = √2 a ，BC = a，∠A"BC = 90°。

取 AC的中点O，
连BO，则 BO ⊥ AC。
而平面ABCD ⊥ 平面 A"CA ，这两面的交线为AC， 且 点B在平面 ABCD 内，
∴ 点B在平面A"CA 内的射影为点O。

∴ △A"BC 在 平面 A"CA 内的射影为 △A"OC。

∴ 若设二面角B-A"C-A的大小x，
则有（△A"BC的面积）× cosx = （△A"OC的面积）

∵ △A"BC 的面积S1 = （1/2）× A" B × BC
= （1/2）× （√2 a） × a
= (√2 / 2 ) a的平方

又 ∵ △A"OC 的面积S2 = （1/2）× A" A × OC
= （1/2） × a ×（√2/2 a）
= (√2 / 4 ) a的平方

∴ cosx = S2 / S1
= [ (√2 / 4 ) a的平方 ] / [ (√2 / 2 ) a的平方 ]
= 1 / 2

∴ x = 60° 或 π / 3 .