Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b,a,b为常数，集合A={x属于R|f(x)=x},B={X属于R|f(f(x))=x}

(1).证明：A属于B
(2)当A={-1,3}时，求集合B

Answer 1

(1)证明：
对于任意的元素x∈A，都有f(x)=x^2+ax+b=x
而f(f(x))=[f(x)]^2+af(x)+b=x^2+ax+b=x.
因此这样的x都有：x∈B
(2)
x=-1时：f(-1)=1-a+b=-1;
x=3时：f(3)=9+3a+b=3;
于是解二元一次方程组得：
a=-1,b=-3.
因而确定函数f(x)=x^2-x-3
则f(f(x))=(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3
=x^4-2x^3-6x^2+7x+9
令f(f(x))=x
则x^4-2x^3-6x^2+6x+9=0
分解因式(x+1)(x-3)(x^2-3)=0
即(x+1)(x-3)(x+√3)(x-√3)=0
所以有四个x的解属于集合B。
B={1,-3,√3,-√3}

Answer 2

由映射定义
设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。

Answer 3

设函数f(x)=x^2+ax+b(a,b属于R),集合A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)证明A是B的子集.(2)当A={-1,3}时,求B【解】(1)
A:即为f(x)=x的根.B:即为f(f(x))=x的根.若m为A的元素,则有f(m)=m,此时,f(f(m))=f(m)=m,因此a也是B中的元素.所以A中的元素都是B中的元素,即A是B的子集.(2)x=-1时：f(-1)=1-a+b=-1;x=3时：f(3)=9+3a+b=3;于是解二元一次方程组得：a=-1,b=-3.因而确定函数f(x)=x^2-x-3则f(f(x))=(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x^4-2x^3-6x^2+7x+9令f(f(x))=x则x^4-2x^3-6x^2+6x+9=0分解因式(x+1)(x-3)(x^2-3)=0即(x+1)(x-3)(x+√3)(x-√3)=0所以有四个x的解属于集合B.B={1,-3,√3,-√3}