Question

已知椭圆C的中心为原点,点F(1,0)是它的一个焦点,直线L过点F与椭圆C交于点A,B两点,且当直线L垂直于轴x时,向

已知椭圆C的中心为原点,点F(1,0)是它的一个焦点,直线L过点F与椭圆C交于点A,B两点,且当直线L垂直于轴x时,向量OA乘向量OB等于5／6.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在直线L,使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P,满足ABP正三角形.如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
求详细过程。

Answer 1

F1、F2为椭圆C：x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)的左右焦点，直线l:y=2x+5与椭圆C交于P1、P2
已知椭圆中心O点关于直线l的对称点恰好落在C的左准线L撇上
求：
（2）已知向量F1P1*向量OF2，-5/9*a^2，向量F2P2*向量OF2成等差数列，求椭圆C的方程

2008-09-19 23:29 提高悬赏10分

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嘉励
[大师] 设原点O关天直线y=2x+5的对称点为O'(x0,y0)
则OO'的中点在直线y=2x+5上,则y0/2=x0+5.......(1)
OO'与直线y=2x+5垂直,则OO'的斜率y0/x0=-1/2...(2)
解(1)(2)得x0=-4,y0=2
点O'在左准线上,则x0=-a^2/c=-4
所以c=a^2/4
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)
把y=2x+5代入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1中得:
(4a^2+b^2)x^2+20a^2x+25a^2-a^2b^2=0
x1+x2=-20a^2/(4a^2+b^2)
向量F1P1*向量OF2，-5/9*a^2，向量F2P2*向量OF2成等差数列
则2(-5a^2/9)=向量F1P1*向量OF2+向量F2P2*向量OF2
向量F1P1=(x1+c,y1)
向量OF2=(c,0)
向量F2P2=(x2-c,y2)
向量F1P1*向量OF2=(x1+c,y1)*(c,0)=(x1+c)*c+y1*0=(x1+c)c
向量F2P2*向量OF2=(x2-c,y2)*(c,0)=(x2-c)*c+y2*0=(x2-c)c
所以2(-5a^2/9)=(x1+c)c+(x2-c)c=x1c+x2c=(x1+x2)c
又x1+x2=-20a^2/(4a^2+b^2)
所以2(-5a^2/9)=-20ca^2/(4a^2+b^2)
即a^2/9=2ca^2/(4a^2+b^2)
把c=a^2/4代入上式解得:a^2=2b^2
又a^2=b^2+c^2=b^2+a^4/16
所以a^2=8,b^2=4
所以椭圆方程:x^2/8+y^2/4=1

Answer 2

椭圆的方程：X^2/a^2+y^2/b^2=1
设点A坐标(1,y1),点B坐标(1,y2),向量OA乘向量OB等于5/6，
(a/2)2-(b/2)2=(c/2)2,c=1,这应该是所有的关系式了吧，你把这些条件带入看看，我没仔细想，呵呵。

Answer 3

他的提问没有问题嘛、我仔细想过了 。

这道题 做过的