Question

一道数学题，求解。

已知：AB是直径，点C在圆上，过点C的直线与AB延长线交于P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB。
①求证：PC是圆O的切线；
②求证：BC＝1/2AB；
③点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN×MC的值

Answer 1

解：（1）∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线．（3分）

（2）∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC= 12AB．（6分）

（3）连接MA，MB，

∵点M是 AB^的中点，

∴ AM^=BM^，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ BMMC=MNBM．

∴BM2=MN•MC．

又∵AB是⊙O的直径， AM^=BM^，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=4，

∴BM=2 2．

∴MN•MC=BM2=8．（10分）