Question

小妹有几道简单的问题想向各位高手求教，望高人指点迷津不吝赐教！小妹在此先谢过啦！！！

一.设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列｛根号下Sn｝是公差为d的等差数列。
（1）.求数列｛an｝的通项公式
（2）.设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证：c的最大值为9/2。
二.等差数列｛an｝各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列｛Bn｝中，b1=1，且B2×S2=64，｛Ban｝是公比为64的等比数列。
（1）.求an与Bn
（2）.证明：1/S1+1/S2+1/S3+......+1/Sn<3/4。

Answer 1

一、
（1）
√Sn = √S1 +(n-1)d =√a1 + (n-1)d
∵(√Sn -√Sn-1 )=d
∴an=Sn-Sn-1=(√Sn -√Sn-1 )(√Sn + √Sn-1)=d(√a1 + (n+1)d + √a1 + (n-3)d)
=d(2√a1 +(2n-3)d )
=2d√a1 + (2n-3)d^2
a2=2d√a1 + d^2
a3=2d√a1 + 3d^2
2*a2=a1+a3
2*(2d√a1 + d^2)=a1+ 2d√a1 + 3d^2
得到a1=d^2
则an=2d^2 + (2n-3)d^2= (2n-1)d^2

(2)
√Sn=√a1 +(n-1)d=nd
Sn=n^2 * d^2
Sm=m^2 * d^2
Sk=k^2 * d^2
Sm+Sn>cSk ，且m+n=3k
c<(m^2+n^2)/k^2=9(m^2+n^2)/(m+n)^2
接下来，求min{(m^2+n^2)/(m+n)^2}
∵(m-n)^2>0
m^2-2mn+n^2>0
2m^2 + 2n^2 - 2mn - m^2 - n^2 >0
2(m^2+n^2)>(m+n)^2
(m^2+n^2) /(m+n)^2>1/2
∴min{(m^2+n^2)/(m+n)^2}=1/2【注意，我这里写了等号，但其实由于m≠n，所以取不到等号，即最小值比1/2要大，这里写的1/2其实是最小值的下限】
∴c<(m^2+n^2)/k^2=9(m^2+n^2)/(m+n)^2
Cmax=9/2 【取最小值的下限得到】

二、
（1）
an=a1 + (n-1)d = 3+(n-1)d
Sn=(a1+a2)n/2 = n(6+(n-1)d)/2
∴S2=6+d

B1=1
Bn=q
B2=q
B2×S2=64
∴q(6+d)=64

｛Ban｝是公比为64的等比数列
Ba1=B3
Ba2=B(3+d)
……
B(3+d)=64B3=q^d B3
∴q^d=64
q(6+d)=64
得到q=8，d=2

∴an=3+(n-1)*2=2n+1
Bn=q^(n-1)=8^(n-1)

(2)
Sn=n(3+2n+1)/2=n(n+2)
∵1/Sn = 1/(n(n+2))= (1/2)*(1/n - 1/(n+2) )
∴1/S1+1/S2+1/S3+......+1/Sn
=(1/2)*[1-1/3 + 1/2 -1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 -1/6 + ……+1/(n-3) - 1/(n-1) + 1/(n-2) - 1/n
+ 1/(n-1) - 1/(n+1) + 1/n - 1/(n+2) ]
=(1/2) *[1+ 1/2 - 1/(n-1) - 1/(n-2) ]
=3/4- (1/2)[ 1/(n+1)+ 1/(n+2)]
<3/4

Answer 2

第1题 看图

第二题：- -｛Ban｝是什么  当bn了

（1）设an=3+(n-1)d         bn=64^(n-1)

(6+d)*64=64    d=-5..............不对了....对不起哈...

Answer 3

(1)因为：2a2=a1+a3;所以设a1=1，a2=2，a3=3；d=1.所以an=1+(n-1)
就会一个，还不知道对不对