Question

在三角形ABC中,求证内接园半径r/外接圆半径R=4sinA/2sinB/2sinC/2

Answer 1

证明：设I为三角形ABC内接圆圆心

那么 AI是三角形内角A的角平分线，所以AI=R/sin(A/2)．

又 BC=Rcotan(B/2)+Rcotan(C/2)

根据正弦定理：BC/sinA=2r

BC=2rsinA,

即：

2rsinA=R[cotan(B/2)+cotan(C/2)]

2rsinA=R[sin[(B+C)/2]]/[sin(B/2)sin(C/2)]

又 sinA=2sin(A/2)cos(A/2)

从而 4rsin(A/2)cos(A/2)=R[sin(90-A/2)]/[sin(B/2)sin(C/2)]

4rsin(A/2)=R/[sin(B/2)sin(C/2)]

∴ R=4r*sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)