Question

设f(x)=e的x次方-e的-x次方/2 ,g(x)=e的x次方+e的-x次方/2,求证:(1){g(x)}²-｛f（x）｝²=1（2）

设f(x)=e的x次方-e的-x次方/2 ,g(x)=e的x次方+e的-x次方/2,求证:(1){g(x)}²-｛f（x）｝²=1（2）f（2x）=2f（x）·g（x）（3）g（2x）={g(x)}²+｛f（x）｝²
各位，不好意思呢！就在昨晚想出来了。不过还是谢谢各位了。

Answer 1

解:(1){g(x)}²-｛f（x）｝²（g(x)+f(x)）*(g(x)-f(x))
而g(x)+f(x)=e^x+e^(-x)+e^X-e^(-x)/2=e^x
g(x)-f(x)=e^x+e^(-x)-e^X+e^(-x)/2=e^(-x)
所以{g(x)}²-｛f（x）｝²=e^x*e^(-x)=1
(2)左边为f(2x)=(e^(2x)-e^(-2x))/2
右边为2f(x)g(x)=（2(e^x-e^(-x))(e^x+e^(-x)))/4=(e^2x-e^(-2x))/2 (可以看作是个平方差公式得逆用)
所以 左边等于右边 即f(2x)=2f（x）g(x)
(3)左边g(2x)=(e^(2x)+e^(-2x))/2
因为g(x)^2=(e^2x+e^(-2x)+2)/4 ,f(x)^2=(e^(2x)+e^(-2x)-2)/4
所以右边 {g(x)}²+｛f（x）｝²)=(e^(2x)+e^(-2x))/2
等于左边 所以 有g（2x）={g(x)}²+｛f（x）｝²成立

Answer 2

设f(x)=e的x次方-e的-x次方/2 ,g(x)=e的x次方+e的-x次方/2,求证:(1){g(x)}2-｛f（x）｝2=1（2）f（2x）=2f（x）·g（x）（3）g（2x）={g(x)}2+｛f（x）｝2

为了方便书写
设a=e的x次方 b=e的-x次方
注意：ab=1

那么把题改过来之后
就变成了
f(x)=（a-b）/2 g(x)=(a+b)/2
(1) {g(x)}2-｛f（x）｝2=(a^2+b^2+2ab)/4 -(a^2+b^2-2ab)/4
=ab=1
(2) f（2x）=(a^2-b^2)/2

2f（x）·g（x）=2*（a-b）/2 * (a+b)/2
=(a^2-b^2)/2
所以f（2x）=2f（x）·g（x）

(3) g（2x）=(a^2+b^2)/2

{g(x)}2+｛f（x）｝2=(a^2+b^2+2ab)/4 +(a^2+b^2-2ab)/4
=(a^2+b^2)/2

应该没问题了