Question

函数f(x)=sin2x+sinxcosx的最小值与最大值分别为

函数y=sin2x+sinx-1的值域为

Answer 1

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4.10 三角函数的应用
●知识梳理
1.三角函数的性质和图象变换.
2.三角函数的恒等变形.
三角函数的化简,求值,证明多为综合题,突出对数学思想方法的考查.
3.三角函数与其他数学知识的联系.
特别要注意三角与几何,三角与平面向量的联系.
●点击双基
1.已知sinx+cosx=,0≤x≤π,则tanx等于
A.-或- B.-
C.- D.或
解析:原式两边平方得2sinxcosx=-
-2sinxcosx=1-2sinxcosx=
sinx-cosx=,
可得sinx=,cosx=-.
∴tanx=-.
答案:B
2.(2001年春季北京)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵△ABC为锐角三角形,
∴A+B>.∴A>-B,B>-A.
∴sinA>cosB,sinB>cosA.
∴P在第二象限.
答案:B
3.(2004年北京西城区一模题)设0<|α|sinα B.cos2αtanα D.cot2α解析:由0<|α|<,知0<2|α||α|,
∴cos2|α|答案:B
4.(2003年上海)若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α=_________.
解析:∵x=是方程2cos(x+α)=1的解,
∴2cos(+α)=1,即cos(+α)=.
又α∈(0,2π),∴+α∈(,).
∴+α=.∴α=.
答案:
5.(2004年北京西城区二模题,理)函数y=sinx·(sinx+cosx)(x∈R)的最大值是____________.
解析:原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,其最大值为1+=.
答案:
●典例剖析
化简cos(π+α)+cos(π-α)(k∈Z).
剖析:原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)=cos[kπ+(+α)]+cos[kπ-(+α)].
解:原式=cos[kπ+(+α)]+cos[kπ-(+α)]=2coskπcos(+α)=
2(-1)k(coscosα-sinsinα)=(-1)k(cosα-sinα),k∈Z.
已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.
解:由已知得
所以sinαcosβ=,cosαsinβ=.
从而==.
思考讨论
由①②不解sinαcosβ,cosαsinβ,能求吗
提示:①÷②,弦化切即可,读者不妨一试.
求函数y=,x∈(0,)的值域.
剖析:将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数,再换元将其转化为一元函数求解.
解:y==.
设t=sinx,则由x∈(0,)t∈(0,1).
对于y==
=-1+-,
令=m,m∈(,1),
则y=-2m2+3m-1=-2(m-)2+.
当m=∈(,1)时,ymax=,
当m=或m=1时,y=0.
∴0评述:本题的解法较多,但此方法主要体现了换元转化的思想,在换元时要注意变量的范围.
●闯关训练
夯实基础
1.(2002年春季北京)若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵sin2α<0,∴2α在第三,四象限.
∴α在第二,四象限.又∵cosα-sinα<0,
∴α在第二象限.
答案:B
2.(2002年春季上海)在△ABC中,若2cosB·sinA=sinC,则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:∵2cosB·sinA=sinC=sin(A+B)sin(A-B)=0,
又A,B,C为三角形的内角,∴A=B.
答案:C
3.(2005年启东市高三年级第二次调研考试题)在斜△ABC中,sinA=-cosBcosC且tanBtanC=1-,则∠A的值为
A. B. C. D.
解析:由A=π-(B+C),sinA=-cosBcosC得sin(B+C)=-cosBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC.
∴tanB+tanC=-1.
又tan(B+C)====-,
∴-tanA=-,tanA=.
又∵0答案:A
4.函数y=sinx-cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到.
解析:由y1=sinx+cosx=sin(x+),
得x1=-(周期起点).
由y2=sinx-cosx=sin(x-),得x2=(周期起点).
答案:
5.函数y=sin(-)的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.
解析:y=sin(-)=-sin(-).
故由2kπ-≤-≤2kπ+
3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
由2kπ+≤-≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间.
答案:[3kπ-,3kπ+](k∈Z);[3kπ+,3kπ+](k∈Z)
6.已知0≤x≤,则函数y=4sinxcosx+cos2x的值域是________.
解析:可化为y=3sin(2x+),其中cos=,sin=,且有≤2x+≤π+.
∴ymax=3sin=3,
ymin=3sin(π+)=-3sin=-1.
∴值域是[-1,3].
答案:[-1,3]
培养能力
7.设a=(sinx-1,cosx-1),b=(,).
(1)若a为单位向量,求x的值;
(2)设f(x)=a·b,则函数y=f(x)的图象是由y=sinx的图象按c平移而得,求c.
解:(1)∵|a|=1,∴(sinx-1)2+(cosx-1)2=1,
即sinx+cosx=1,sin(x+)=1,
sin(x+)=,
∴x=2kπ或x=2kπ+,k∈Z.
(2)∵a·b=sin(x+)-.
∴f(x)=sin(x+)-,
由题意得c=(-,-).
8.求半径为R的圆的内接矩形周长的最大值.
解:设∠BAC=θ,周长为P,
则P=2AB+2BC=2(2Rcosθ+2Rsinθ)=4Rsin(θ+)≤4R,
当且仅当θ=时,取等号.
∴周长的最大值为4R.
探究创新
9.(2004年北京东城区高三第一次模拟考试)在△ABC中,若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB.
(1)求∠C的度数;
(2)在△ABC中,若角C所对的边c=1,试求内切圆半径r的取值范围.
解:(1)∵sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,
∴2sinCcos·cos=2sin·cos.
在△ABC中,-<<.
∴cos≠0.∴2sin2cos=cos,
(1-2sin2)cos=0.
∴(1-2sin2)=0或cos=0(舍).
∵0(2)设Rt△ABC中,角A和角B的对边分别是a,b,则有a=sinA,b=cosA.
∴△ABC的内切圆半径
r=(a+b-c)=(sinA+cosA-1)
=sin(A+)-≤.
∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0●思悟小结
三角函数是中学教材中一种重要的函数,它的定义和性质有许多独特的表现,是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一,同时,由于三角函数和代数,几何知识联系密切,它又是研究其他各类知识的重要工具,因此应重视对知识理解的准确性,加强对三角知识工具性的认识.
●教师下载中心
教学点睛
1.因本节是三角函数的应用,建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用,使知识能条理化并形成一个网络.
2.总结本章涉及的数学思想方法,以及与三角相关联的一些知识点.
拓展题例
已知cosB=cosθ·sinA,cosC=sinθsinA.
求证:sin2A+sin2B+sin2C=2.
分析:本题为条件恒等式的证明,要从条件与要证的结论之间的联系入手,将结论中的sin2B,sin2C都统一成角A的三角函数.
证法一:sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+[1-(cosθsinA)2]+[1-(sinθsinA)2]
=sin2A+1-cos2θsin2A+1-sin2θsin2A
=sin2A(1-sin2θ)+1-cos2θsin2A+1
=sin2Acos2θ-sin2Acos2θ+2=2.
∴原式成立.
证法二:由已知式可得cosθ=,sinθ=.
平方相加得cos2B+cos2C=sin2A
+=sin2A
cos2B+cos2C=2sin2A-2.
1-2sin2B+1-2sin2C=2sin2A-2,
∴sin2A+sin2B+sin2C=2.
函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a),a∈R,
(1)求g(a);
(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.
解:(1)f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)
=2cos2x-2acosx-1-2a
=2(cosx-)2--2a-1.
若<-1,即a1,即a>2,则当cosx=1时,f(x)有最小值g(a)=2(1-)2--2a-1=1-4a.
∴g(a)=
(2)若g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=.
由a=-1或a=-3(舍).
由a=(舍).
此时f(x)=2(cosx+)2+,得f(x)max=5.
∴若g(a)=,应a=-1,此时f(x)的最大值是5.

Answer 2

sinxcosx=1/2sin2x
所以f(x)=3/2sin2x
sin2x的最大值是1，最小是-1
所以。
3/2sin2x的最大值=3/2，最小值=-3/2