Question

在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,AB＞CD，AD=BC,对角线AC，BD相交于O，∠AOB=60°,

在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,AB＞CD，AD=BC,对角线AC，BD相交于O，∠AOB=60°,E,F,M分别是OD,OA,BC的中点。求证；三角形EFM是等边三角形。

Answer 1

证明：

根据题意容易知道△OCD，△OEP都是等边三角形

过E作CD的平行线，与OC相交于P，

过M作OC的平行线，与BD相交于S，

则根据题意，得

SM=(1/2)OC，EP=(1/2)CD,……①

∠SME=∠EOP=60°，∠OPE=60°，……②

FP=(1/2)AC=(1/2)BD=ES，……③

∴由①②③，得

SM=EP，∠SME=∠EOP，FP=ES

∴△PEF≌△SME （SAS）

∴EF=EM，且∠MES=∠EFP

∴∠FEM=∠FEO+∠MES=∠FEO+∠EFP=∠AOB=60°

也就是说在△FEM中，∠FEM=60°，EF=EM

∴EF=EM=FM

∴△EFM是等腰三角形

Answer 2

证明：
根据题意容易知道△OCD，△OEP都是等边三角形
过E作PE∥CD与OC相交于P，
过M作MN∥OC与BD相交于N，
则根据题意，得
MN=(1/2)OC，EP=(1/2)CD,……①
∠NME=∠EOP=60°，∠OPE=60°，……②
FP=(1/2)AC=(1/2)BD=EN，……③
∴由①②③，得
MN=EP，∠NME=∠EOP，FP=EN
∴△PEF≌△NME （SAS）
∴EF=EM，且∠MEN=∠EFP
∴∠FEM=∠FEO+∠MEN=∠FEO+∠EFP=∠AOB=60°
也就是说在△FEM中，∠FEM=60°，EF=EM
∴EF=EM=FM
∴△EFM是等腰三角形