Question

一道积分题，有图。。谢谢大家。。

Answer 1

令 [1-e^(-2x)]^(1/2)=t
两边平方，得到1-e^(-2x)=t^2
两边微分，得到(dx)2e^(-2x)=2t(dt)
由1-e^(-2x)=t^2 得到 e^(-2x)=1-t^2
于是dx=t/(1-t^2) (dt)
原积分式上限=[1-e^(-2ln2)]^(1/2)=[1-e^(ln(1/4))]^(1/2)=[1-1/4]^(1/2)=(3/4)^(1/2)
原积分式下限=[1-e^(0)]^(1/2)=[1-1]^(1/2)=0
因此原积分式变成上限为(3/4)^(1/2)，下限为0，积分项为t^2/(1-t^2) (dt)
其中积分项 t^2/(1-t^2)=1/(1-t^2)-1=[1/(1-t)+1/(1+t)]/2-1，
积分得 [-ln(1-t)+ln(1+t)]/2-t={ ln[(1+t)/(1-t)] }/2-t
将上下限代入，得到积分式最终值=ln[2+3^(1/2)]-[ 3^(1/2) ]/2