Question

[比赛]求证：含n各元素的集合，其子集个数为2^n。

1.不要求很高的严谨性，但必须要有道理。
2.证明要有创新性，能够体现独特的思维风格。
3.在以上前提下尽量做到简洁。

谁的证明最好（必须比我的证明好），谁就可以获得100分悬赏，特别优秀者，还有10至50分的追加。
悬赏分已提高至200。感谢大家积极参与！

Answer 1

用二项式定理
n个元素集合的子集有nC0+nC1+nC2+nC3+...+nCn
（1+1）^n=nC0+nC1+nC2+nC3+...+nCn=2^n

所以n个元素集合的子集共有2^n个

Answer 2

利用组合的方法证明
分n+1种情况讨论：
在n个元素中取0个元素组成的子集，即为空集 C0
在n个元素中随意取1个元素组成的子集，C1
在n个元素中随意取2个元素组成的子集，C2
...............
一直到Cn

C0+C1+C2+C3+...+Cn
这个式子就是一个特殊2项式（1+1）展开之后得到的所有项

所以=2^n

Answer 3

利用组合的方法证明
分n+1种情况讨论：
在n个元素中取0个元素组成的子集，即为空集
在n个元素中随意取1个元素组成的子集，
在n个元素中随意取2个元素组成的子集，
在n个元素中随意取3个元素组成的子集，
.....
在n个元素中随意取n个元素组成的子集

将以上n＋1个组合数相加，即得2^n
事实上，2^n是二项式（a+b)^n展开式的系数之和，并且令a＝b＝1
得证

Answer 4

简单的计数问题

设集合A＝{a1,a2,a3,a4……an}
第一步：a1 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*=2^1
第二步：a2 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2=2^2
第三步：a3 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*2=2^3
第四步：a4 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*2*2=2^4
……
第n步： an 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*……＝2^n

搞定。

Answer 5

若A中有三个元素则它的子集有：它本身，空集，和三个元素单独构成得三个，两两配对成的三个，一共有2^3＝8个子集。
其实，可以考虑：有几个元素，便用几来配对，把最后的结果加以总结，正好是2^n。

Answer 6

每个元素有两种情况：存在＼不存在
共有N个元素则子集有2＾N