Question

请教一道线代问题

设A是实数域上n级可逆矩阵，证明：A可唯一分解成A=TB. 其中T是正交阵，B是主对角元都为正的上三角矩阵.
备注：存在性已证出，主要是我在证唯一性的时候方法太复杂，是逐个去证T的列向量唯一。希望各路高人能给出简便证法。

Answer 1

考虑到 R^n 的任何一组基可以标准正交化即可得到存在性(考虑两组基的过渡阵)。唯一性是显然的，证明如下：
设 T_1B_1=T_2B_2, 则 {T_2}^{-1}T_1=B_2{B_1}^{-1}.注意到
1.正交阵的乘积，正交阵的逆还是正交阵
2.上三角阵的乘积，可逆上三角阵的逆还是上三角阵
故左侧是正交阵，右侧是上三角阵，于是必为对角阵而且对角元不是 1 就是 －1(注意正交阵的定义，以及它是上三角的正交阵)。但是由于已知 B_i(i=1,2) 的对角元是正的，于是只能是 E. 由此 T_1=T_2, B_1=B_2.
证毕

Answer 2

假设不唯一，找任意两个验证他们完全相同即可。