Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，则BD的长为______。

Answer 1

解：设BD=a
因为∠A=36，AB=AC
所以∠ABC=∠C=72
因为BD平分∠ABC
所以∠ABD=∠DBC=36
所以∠BDC=72
BD=BC
因为∠A=∠ABD=36
所以AD=BD
因为∠A=∠CBD，∠C=∠C
所以△ABC∽△BDC
AB/BD=BC/CD
AB=1,BD=a，BC=BD=a，CD=AC-AD=AC-BD=1-a
1/a=a/(1-a)
a²=1-a
a²+a-1=0
a=(-1±√5)/2
a=(-1-√5)/2舍去
所以BD=(√5-1)/2

Answer 2

两次运用正弦定理
这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中三边为a,b,c 三角为A,B,C
第一次在三角形ABC中，由AB/sin∠C=BC/sin∠A，可得BC=sin36°/sin77°;
第一次在三角形BCD中，由BD/sin∠C=BC/sin∠BDC，可得BD=sin36°/sin64.5°
然后查正弦表可得

Answer 3

易证△CBE∽△CAB（AA）
CE/BE=CB/AB
AB=AC
AE=BE（△ABE）
BC=CE（△CBE）
所以AE^2=AC×EC。