Question

定义在（0，正无穷）上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时，f(x)<o

(1)证明：f(x)在（0，正无穷）上单调递减
（2）若关于x的不等式f(k3^x)-f(9^x-3^x+1)>=f(1)恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

(1)f(1*x)=f(1)+f(x)=f(x),得f(1)=0
f（x）+f（1/x）=f[x*(1/x)]=f(1)=0,得f(x)=-f(1/x)
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(x2)=f(x1/x2),因为x1>x2>0,所以x1/x2>1，所以f(x1)-f(x2)==f(x1/x2)<0,
所以f(x)在（0，正无穷）上单调递减

（2）f(k3^x)-f(9^x-3^x+1)>=f(1)=0,即f(k3^x)>=f(9^x-3^x+1)，
即k3^x<=9^x-3^x+1,令3^x=t，则t>0,
t<=t^2-kt+1,t<=t+1/t-1,
t+1/t>=2,
所以t<=2-1=1