Question

已知圆C：（x-1)^2+（y-2）^2=25，直线l：（2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

(1)求证：直线l恒过定点。（2）判断直线l被截得的弦何时最长.何时最短？并求截得的弦长嘴短时m的值以及最短长度

Answer 1

（1）直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0令2x+y-7=0,x+y-4=0解得x=3,y=1所以直线恒过定点（3,1）
(2）当直线过圆点时直线L被圆C截得的弦何时最长把圆点（1,2）代入直线方程得m＝-1/3当直线垂直于由点（1,2）和（3,1）连成的直线时直线L被圆C截得的弦何时最短由点（1,2）和（3,1）连成的直线方程可以算出为y=-1/2x+5/2因为直线L与它垂直所以它的斜率为-2又因为它经过点（3,1）所以它的方程为y=-2x+7直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0化简得y＝kx+b的形式然后让k＝2就可以求出了

Answer 2

解：（1）直线l的方程可以写成（2x+y-7)m+(x+y-4)=0
所以只要使2x+y-7=0，x+y-4=0就可以满足任何m
解得x=3,y=1
所以直线过（3,1）
（2）当被截得的弦垂直于过（3,1）与（1,2）的直线时最短
当被截得的弦与过（3,1）与（1,2）的直线垂直时最长
法向量为（2，-1），设直线为2x-y+m1=0
2m+1=-2(m+1),4m=-3,m=-3/4.
直线到圆心距离为d=根号5.最短的弦长为sqrt(5^2-d^2)=2根号5.