Question

已知函数f(x)=loga(a^x-1)(a>0,且a≠1)

(1)证明函数f(x)的图像在Y轴的一侧
(2)设A（x1,y1).B(x2,y2)(x1<x2)是f(x)图像上的两个点，证明直线AB的斜率大于0
(3)求函数y=f(2x)与f^-1(x)的图像的交点坐标

Answer 1

根据对数函数的定义域，所以a(a^x-1)>0,
又因为a>0
所以a^x<1
所以当0<a<1时，x>0
当1<a时，x<0.
所以函数f(x)的图像在y轴的一侧。
假设x1<x2
若0<a<1，则a^x1>a^x2, a^x1-1>a^x2-1
所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1)
所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0
若1<a，则a^x1<a^x2, a^x1-1<a^x2-1
所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1)
所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0
所以函数f（x）图像上任意两点斜率大于0.