Question

分母是455的所有最简真分数的和等于多少？

Answer 1

若 n/455 不是最简真分数，则 (455-n)/455 不是最简真分数；
若 n/455 是最简真分数，则 (455-n)/455 也是最简真分数；
而且有：n/455 + (455-n)/455 = 1 ，
所以，只要算出最简真分数的个数，再除以2就是答案。

因为，455 = 5×7×13 ，
所以，5，7，13的倍数作分子而455作分母都不是最简真分数。

不是最简真分数的分子有：
小于455的5的倍数共有 455÷5-1 = 90 个；
小于455的7的倍数共有 455÷7-1 = 64 个；
小于455的13的倍数共有 455÷13-1 = 34 个；
其中重复计算的有：
小于455的35的倍数共有 455÷35-1 = 12 个；
小于455的65的倍数共有 455÷65-1 = 6 个；
小于455的91的倍数共有 455÷91-1 = 4 个；
则有：分母是455的所有最简真分数共有 454-90-64-34+12+6+4 = 288 个；
所以，分母是455的所有最简真分数的和等于 288÷2 = 144 。

Answer 2

455=5*7*13
分母都取455，分子从1到455，把5，7，13的倍数去掉，记得加上重复去掉的。
（对5，10，15，20。。。求和可以用等差数列求和公式，以此类推）
对有用到的分子最终求和后，除以455就是了
另解：
若n与455互质，则455-n与455互质，
故肯定是偶数个，且首尾相加为1，然后判断有多少与它互质，方法可用容斥原理，或类似上面的方法。得解

Answer 3

若 n/455 不是最简真分数，则 (455-n)/455 不是最简真分数；
若 n/455 是最简真分数，则 (455-n)/455 也是最简真分数；
而且有：n/455 + (455-n)/455 = 1 ，
所以，只要算出最简真分数的个数，再除以2就是答案。

因为，455 = 5×7×13 ，
所以，5，7，13的倍数作分子而455作分母都不是最简真分数。

不是最简真分数的分子有：
小于455的5的倍数共有 455÷5-1 = 90 个；
小于455的7的倍数共有 455÷7-1 = 64 个；
小于455的13的倍数共有 455÷13-1 = 34 个；
其中重复计算的有：
小于455的35的倍数共有 455÷35-1 = 12 个；
小于455的65的倍数共有 455÷65-1 = 6 个；455=5*7*13
分母都取455，分子从1到455，把5，7，13的倍数去掉，记得加上重复去掉的。
（对5，10，15，20。。。求和可以用等差数列求和公式，以此类推）
对有用到的分子最终求和后，除以455就是了
另解：
若n与455互质，则455-n与455互质，
故肯定是偶数个，且首尾相加为1，然后判断有多少与它互质，方法可用容斥原理，或类似上面的方法。得解
小于455的91的倍数共有 455÷91-1 = 4 个；
则有：分母是455的所有最简真分数共有 454-90-64-34+12+6+4 = 288 个；
所以，分母是455的所有最简真分数的和等于 288÷2 = 144 。
144

Answer 4

144