Question

已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为2分之根号3，直线x+y-1=0与它相交于M，N2点向量OM*ON=-7

求椭圆方程

Answer 1

直线x+y-1=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相交于M(x1,y1)、N(x2,y2)
向量OM*向量ON=-7
x1x2+y1y2=-7

把y=1-x代入x^2/a^2+y^2/b^2=1得：
b^2x^2+a^2(1-x)^2=a^2b^2
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=(b^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
所以，x1x2+y1y2=1-2a^2b^2/(a^2+b^2)=-7
a^2b^2/(a^2+b^2)=4
而：e=c/a=√3/2,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4
解方程组：
a^2b^2/(a^2+b^2)=4
b^2=a^2/4
得：
a^2=20,b^2=5
所以，椭圆标准方程：x^2/20+y^2/5=1