Question

求解一道数列题

已知{a(n)}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(1/a1+1/a2),(a3+a4+a5)=64(1/a3+1/a4+1/a5)
(1)求{a(n)}的通项公式
（2）设b(n)=(an+1/an)的平方，求数列bn的前n项的和Tn

Answer 1

（1）把两式写为首项a1（记作a）和公比q的形式：
第一式为a+aq=2(1/a+1/aq),化简的a^2=2/q;
第二式为aq^2+aq^3+aq^4=64*(1/aq^2+1/aq^3+1/aq^4);
整理得：aq^2*(1+q+q^2)=64*(1+q+q2）/(aq^4);
约分，将第一式代入消去a，得q=2，进而得a=1,所以an=2^(n-1)
（2）bn=(an+1/an)^2=an^2+1/(an^2)+2=4^(n-1)+4^(1-n)+2
分组求和，4^(n-1)的前n项和为（4^n-1）/3
4^(1-n)的前n项和为1/(3*4^(n-1))+4/3
所以Tn=（4^n-1）/3+1/(3*4^(n-1))+4/3+2n

Answer 2

a1+a2=2(1/a1+1/a2)=2(a1+a2)/(a1*a2)
2/(a1*a2)=1
a1*a2=2
(a3+a4+a5)=64(1/a3+1/a4+1/a5)=64(a3*a4+a3*a5+a4*a5)/a3*a4*a5
=64(a3*a4+a4^2+a4*a5)/a4^3=64(a3+a4+a5)/a4^2
64/a4^2=1
a4=8=a2^3/a1^2=a2^5/a1^2*a2^2=a2^5/4（此处设{a(n)}=A*B^n来推）
a2=2
{a(n)}=1/2*2^n
（2）设b(n)=(an+1/an)的平方，求数列bn的前n项的和Tn
Tn=(1+1/1)^2+……+(2^(n-1)+1/2^(n-1))^2=2n+1^2+……+2^(n-1)^2+1/1^2+……+1/2^(n-1)^2
1^2+……+2^(n-1)^2=2^0+……+2^(2n-2)
1/1^2+……+1/2^(n-1)^2=2^0+……+2^(2-2n)
设S=2^(2-2n)+……+2^(2n-2)
2S=2^(3-2n)+……+2^(2n-1）
3S=2^(2-2n)+……+2^(2n-1）
2^2n-3S=2^2n-2^(2n-1)-……-2^(2-2n）=2^(2n-1)-2^(2n-2)-……-2^(2--2n2n1）=……
=2^(2-2n)
S=（2^2n-2^(2-2n) ）/3
Tn=S+1+2n=（2^2n-2^(2-2n) ）/3+1+2n