Question

已知函数f(x)对任意实数的a,b∈R满足:f(a+b)=f(a)+f(b)-6,当a>0时,f(a)<6;f(-2)=12

(1）求f(2)的值
(2)求证：f(x)是R上的减函数
(3)若f(k-2)<f(2k)-3，求实数k的取值范围

Answer 1

解：(1)令a=-2,b=0.
有f(-2)=f(-2)+f(0)-6,
所以f(0)=6
令a=2,b=-2.
f(0)=f(2)+f(-2)-6,
所以f(2)=0.
(2)设X1>X2,
f(X1)=f(X1-X2)+f(X2)-6
f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-6<0 (f(X1-X2)<6)
命题得证。
（3）令a=b=1
f(2)=2f(1)-6
f(1)=3
命题转化为f(k-2)<f(2k)+f(1)-6=f(2k+1)
由（2）得k-2>2k+1
所以k<-3

Answer 2

1. f(-4)=f(-2)+f(-2)-6 =18
f(-2)=f(-4)+f(2)-6-------得到f(2)=0
2. 由 a大于0. f(a)-6小于0
那么， b+a大于b
f(b+a)=f(b)+f(a)-6小于f(b)
则 f(x)在R上减