Question

定义在D上的函数f(x),对任意x∈D,存在常数M>0,都|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，

定义在D上的函数f(x),对任意x∈D,存在常数M>0,都|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M为f(x)的上界
已知函数f(x)=1+a(0.5)^x+(0.25)^x，g(x)=(1-m*2^x)/(1+m*2^x)
(1)a=1,求f(x)在（负无穷，0）上的值域，并判断f(x)在（负无穷，0）上是否为有界函数
（2）f(x)在[0,正无穷)上是以3为上界的有界函数，求a的范围
（3）m>0,g(x)在[0,1]的上界是T(m)，求T(m)的取值范围

Answer 1

解：（1）当a=1时，f(x)=1+ .
因为f(x)在（-∞，0）上递减，所以f(x)＞f(0)=3，即f(x)在(-∞，0)的值域为(3，+∞)
故不存在常数M＞0，使|f(x)|≤M成立
所以函数f(x)在（-∞，0）上不是有界函数. 6分（没有判断过程，扣4分）
（2）由题意知，|f(x)|≤3在[0，+∞）上恒成立. 7分
-3≤f(x)≤3，-4- ≤a• ≤2-
∴-4•2x- ≤a≤2•2x- 在[0，+∞）上恒成立 8分
∴ ≤a≤ 9分
设2x=t，h(t)=-4t- ，p(t)=2t- ，由x∈[0,+ ∞)得t≥1,
设1≤t1＜t2，h(t1)-h(t2)=
p(t1)-p(t2)=
所以h(t)在[1，+∞）上递减，p(t)在[1，+∞）上递增， 11分（单调性不证，不扣分）
h(t)在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p(t)在[1，+∞）上的最小值为p(1)=1
所以实数a的取值范围为[-5，1].

Answer 2

154485

Answer 3