Question

求期望值问题，帮帮忙...

某军区进行项目1和项目2的考核，每个项目只有一次补考的机会，补考不合格不能进入下一项目的比赛，即被淘汰。现有6名队员，每人项目1合格的概率为2/3，项目2合格的概率为1/2，每次考核互不影响。
1、求某队员不被淘汰的概率
2、假设某队员不放弃每一次考核的机会，X表示其参加补考的次数，求X的分布列和数学期望。

Answer 1

1. 题目没有说清楚，什么是淘汰？分情况作答，哪一种情况说中了题意就用那种答案。
(1) 第一轮过，第二轮不过，这样不算淘汰：
则 P(淘汰)=P(项目1考核不合格)*P(项目1补考不合格)
P(淘汰)=(1/3)*(1/3)=1/9
(2)第一轮过而第二轮不过也算淘汰：
对某队员来说：事件[不被淘汰]=[项目1合格]*[项目2合格]
而某项目合格概率为：P[该项合格]=1-P[该项不合格]=1-[考核不合格]*[补考不合格]
所以：P(项目1合格)=1-(1/3)*(1/3)=8/9; P(项目2合格)=1-(1/2)*(1/2)=3/4;
P(不被淘汰)=(8/9)*(3/4)=2/3.

2
X的样本空间={0,1,2}
分情况：
【若X=0】：
说明此人2项考核都一次顺利过关。
即：[项目1一次合格]*[项目2一次合格]
P(x=0)=(2/3)*(1/2)=1/3;
【若x=1】:
(1)第一次没补考，第二次补考(过不过无所谓)。
即：[项目1一次合格]*[项目2一次不合格]
(2)第一次补考过了，且第二次没补考；
即：[项目1一次不合格]*[项目1补考合格]*[项目2一次合格]
(3)第一次补考没过。
即：[项目1一次不合格]*[项目1补考不合格]
三种情况下概率分别为：
p(1)=(2/3)*(1/2)=1/3;
p(2)=(1/3)*(2/3)*(1/2)=1/9;
p(3)=(1/3)*(1/3)=1/9.
p(x=1)=p(1)+p(2)+p(3)=5/9.
【若x=2:】
则两次都补考了，但是第一次补考一定过了。否则就被没有机会继续考核了。
也就是: [项目1不合格]*[补考通过]*[项目2不合格][补考爱过不过]
p(x=2)=(1/3)(2/3)(1/2)=1/9.

于是得出x的分布列：
p(x=0)=1/3;
p(x=1)=5/9;
p(x=2)=1/9.
┌——┬———┬———┬———┐
│ x │ 0 │ 1 │ 2 │
├——┼———┼———┼———┤
│ p │ 1/3 │ 5/9 │ 1/9 │
└——┴———┴———┴———┘
期望E(x)=0*(1/3)+1*(5/9)+2*(1/9)=7/9

Answer 2

对于数学期望的定义是这样的。数学期望
E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)
X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：
E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)
很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
我们举个例子，比如说有这么几个数：
1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1
1出现的次数为3次，占所有数据出现次数的3/12,这个3/12就是1所对应的频率。同理，可以计算出f(2) = 2/12,f(5) = 2/12 , f(6) = 1/12 , f(8) = 2/12 , f(9) = 1/12 , f(4) = 1/12 根据数学期望的定义：
E(X) =1*f(1)+ 2*f(2) + 5*f(5) + 6*f(6) + 8*f(8) + 9*f(9) + 4*f(4) = 13/3
所以 E(X) = 13/3,
现在算这些数的算术平均值：
Xa = (1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12 = 13/3
所以E(X) = Xa = 13/3