Question

在f(x)=lnx-bx+c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0 （1）求f（x）的解析式（2）在f（x）的单调区间

（3）在区间[1/2,5]内，恒有f（x）≥x^2+lnx+kx成立，求k的取值范围

Answer 1

(1).f'(x)=1/x-b,f(x)=lnx-bx+c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0,即y=-x-4,切线斜率为-1,
f'(1)=1/1-b=1-b=-1,b=2,点(1,f(1))在f(x)图像上且在切线x+y+4=0上，
1+f(1)+4=0,即1+ln1-2*1+c+4=0,c=-3,f(x)=lnx-2x-3.
(2).f(x)=lnx-2x-3有意义，x>0.f(x)定义域为(0,+无穷),
f'(x)=1/x-2=(1-2x)/x,
当0<x<1/2时，f'(x)>0,
当x=1/2时，f'(x)=0,
当x>1/2时，f'(x)<0,
在f（x）的单调递增区间为(0,1/2],
在f（x）的单调递减区间为[1/2,+无穷).
(3).在区间[1/2,5]内，f（x）的单调递减
恒有f（x）≥x^2+lnx+kx成立，即恒有lnx-2x-3≥x^2+lnx+kx，
在区间[1/2,5]内恒有x^2+(2+k)x+3<=0
令g(x)=x^2+(2+k)x+3,g(x)为开口向上的抛物线，
在区间[1/2,5]内恒有,g(x)<=0，
则须
g(1/2)=1/4+(2+k)/2+3<=0
且g(5)=25+(2+k)5+3<=0
即k<=-17/2且k<=-38/5,
即k<=-17/2，
k的取值范围为(-无穷,-17/2)