Question

已知直线x+y=1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交A,B两点，且OA⊥OB（O为原点），则1/a^2+1/b^2的值为

Answer 1

我用常规方法解的。
将直线代入椭圆方程，消去一个未知数Y（消X也可以）
整理后得到方程： (a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0 (1式）
另设A（X1,Y1) B(X2,Y2)
因为OA垂直OB，所以向量OA与向量OB的数量积为零。
得到方程: x1x2+y1y2=0
又因为 y1=1-x1, y2=1-x2.
代入方程消去y得到 2x1x2-(x1+x2)+1=0 （2式）
从1式中再由韦达定理得到，
x1+x2=2a^2/a^2+b^2 (3式) x1x2=a^2(1-b^2) (4式)
将3，4两式代入2式中，经计算得到
1/a^2+1/b^2=1

计算过程就省略了。