Question

f(x)=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)

f(x)=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)
（1）若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=f(x)x＞0，-f(x)x＜0，求F(2)+F（-2）的值
（2）若a=1,c=0,且绝对值f(x)≤1在区间（0,1】恒成立，试求b取值范围

Answer 1

（1）
f(-1)=0,且c=1
a-b+1=0
a=b-1
当x=-1时取道最小值
-b/(2a)=-1
b=2a
得到：a=1，b=2
f(x)=x^2+2x+1
F(x)=x^2+2x+1 (x>0)
F(x)=-x^2-2x-1 （x<0)
F(2)=4+4+1=9
F(-2)=-4+4-1=-1
F(2)+F(-2)=8

(2)
f(x)=x^2+bx
|f(x)|≤1 x∈(0，1]
f(x)=(x+b/2)^2 - b^2/4
第一种情况：0<-b/2≤1 -2≤b<0
|-b^2/4|≤1
b^2≤4
-2≤b≤2
|1+b|≤1
-2≤b≤0

∴-2≤b<0

第二种情况：
-b/2<0 b>0
|1+b|≤1
-2≤b≤0
矛盾，舍去

第三种情况：
-b/2≥1
b≤-2
|1+b|≤1
-2≤b≤0
矛盾，舍去