Question

已知函数f(x)= 1/a - 1/x(a>0,x>0)

（1） 若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围
（2）若f(x)≤2x在（0，+∞）上恒成立 求a取值范围。

Answer 1

你好！
(1) 设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=1/x2-1/x1=(x1-x2)/x1x2<0 故f(x)为增函数
f(m)=m ,f(n)=n
m=1/a-1/m n=1/a-1/n
m^2-1/a*m+1=0
n^2-1/a*n+1=0
m,n为方程y^2-1/a*y+1的两个不相等的实根
判别式B^2-4AC>0 1/a^2-4*1*1>0 a>0
故a的范围为0<a<1/2
m=[1/a-根号下(1/a^2-4)]/2 n=[1/a+根号下(1/a^2-4)]/2 (因为m<n)
(2) f(x)小于或等于2x在（0，+∞）上恒成立
即1/a<=1/x+2x (x>0)
求出1/x+2x在(0，+无穷)的最小值即可
1/x+2x>=2倍根号2 x=2分之根号2取等号
1/a<=2倍根号2
a>=4分之根号2
祝楼主钱途无限，事事都给力！

Answer 2

解：
(1)
f(x)值域为(-∞,1/a)
∴1/a>n
当n≤0时
a∈(0,+∞)
当n>0时
a∈(0,1/n)
(2)
1/a-1/x≤2x
a≥x/(2x²+1) , x∈(0，+∞)
令f(x)=x/(2x²+1)
f(x)∈(0,sqr(2)/4]
∴a∈(sqr(2)/4,+∞)

Answer 3

（1）因为a>0,x>0，所以f(x)=∈（-∞，1/a），
所以n＜1/a，又a>0，所以当n＞0时，0＜a＜1/n，当n≤0时，1/a＞0≥n，则a>0，
（2）f(x)≤2x在（0，+∞）上恒成立 ，即1/a - 1/x≤2x，因为x＞0，故有2x²-x/a+1≥0，则应有
△=（1/a)²-4*2≤0，解得
a≥√2 / 4

Answer 4

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