Question

设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,并且对于任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y=1),求f(x)的解析式。

Answer 1

假设x=0，则函数方程f(x-y)=f(x)-y(2x-y-1)变为f(-y)=f(0)-y(-y-1)=f(0)+y的平方+y,所以f(-y)=y的平方+y+1，又因为让我们求f(x)，所以让-y=x，则f(x)=x的平方-x+1

Answer 2

因为f(0)=1
当y=x时有f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1)
即：f(0)=f(x)-(x^2+x)
即1=f(x)-(x^2+x)
f(x)=-x^2+x+1

Answer 3

是不是题目有问题
如果是f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 则可令x=y，则
f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，即1=f(x)-x^2-x
所以最后结果为f(x)=x^2+x+1