Question

这是高三的数学题，求大家帮帮忙哦！看在打这么多题目的份上大家帮帮忙！给力些！求详细过程！

设函数Y=（x）定义域为R，当X<0时，F(X)>1，且对于任意的x，y属于R，有F（x+y)=f(X).f(y)成立。数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=1/f（-2-an）（n属于正整数）
（1）求f（o）的值；
（2）证明：函数y=f（x）在R上是减函数！
（3）求数列{an}的通项公式并证明；
（4）是否存在正数K，使（1+1/a1)(1+1/a2)......(1+1/an)大于等于根号下（2n+1）对一切n属于正整数均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由！
你的草稿照多的话可以照下来让我看看 好人做到底！谢谢大家！

Answer 1

（1）
令x<0，y=0，则有f(x+y)=f(x)=f(x)*f(y)=f(x)*f(0)，由题意x<0时f(x)>1>0，从而f(0)=1。
（2）
对任意实数x1,x2，x1<x2，有f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)*f(x1-x2)，x1-x2<0，所以f(x1-x2)>1，所以f(x1)>f(x2)，由x1、x2的任意性，可知f(x)在R上递减。
（3）
由于f(x)在R上递减，所以f(x)=1当且仅当x=0； a1=f(0)=1，f(a(n+1))=1/f(-2-a(n))，从而1=f(a(n+1))*f(-2-a(n))=f(a(n+1)-2-a(n))，从而a(n+1)-2-a(n)=0，即a(n+1)=a(n)+2，从而a(n)为等差数列，首项为1，公差为2，进而a(n)=2n-1。
（4）
最后一问lz没有说那个K是干什么用的啊~~，不过大致的方法是将你想证明的表达式所有的含n的项挪到左边，右边只剩下K,，然后将左边设成n的函数，通过数学归纳法求得这个函数的最值。。。。。。如果还不会的话，就补充一下题目吧。

Answer 2

多年前我也问过类似的提问，结果没一个人回答，这种问题还是去问老师吧

Answer 3

你应该直接问老师。
因为你这个题目难，悬赏分还是零分！

Answer 4

（1）
令x<0，y=0，则有f(x+y)=f(x)=f(x)*f(y)=f(x)*f(0)，由题意x<0时f(x)>1>0，从而f(0)=1。
（2）
对任意实数x1,x2，x1<x2，有f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)*f(x1-x2)，x1-x2<0，所以f(x1-x2)>1，所以f(x1)>f(x2)，由x1、x2的任意性，可知f(x)在R上递减。
（3）
由于f(x)在R上递减，所以f(x)=1当且仅当x=0； a1=f(0)=1，f(a(n+1))=1/f(-2-a(n))，从而1=f(a(n+1))*f(-2-a(n))=f(a(n+1)-2-a(n))，从而a(n+1)-2-a(n)=0，即a(n+1)=a(n)+2，从而a(n)为等差数列，首项为1，公差为2，进而a(n)=2n-1。
（4）
最后一问lz没有说那个K是干什么用的啊~~，不过大致的方法是将你想证明的表达式所有的含n的项挪到左边，右边只剩下K,，然后将左边设成n的函数，通过数学归纳法求得这个函数的最值。。。。。。如果还不会的话，就补充一下题目吧。