Question

已知双曲线C的方程为y^2/a^2-x^2/b^2=1,离心率e=根号5/2顶点到渐近线的距离为2根号5/5

求双曲线的方程

Answer 1

e=√5/2=c/a
2c=√5a,c＾2=5/4a＾2=a＾2+b＾2
∴b＾2=1/4a＾2
∴b＾2/a＾2=1/4

设顶点A（0,a），渐近线方程y=bx/a
∴顶点到渐近线的距离是：（-a）的绝对值/√[(b/a)＾2+1]=2/√5
代入b＾2/a＾2=1/4
得a＾2=1，b＾2=1/4

∴双曲线的方程为：x＾2-4y＾2=1

Answer 2

为了书写方便记（k=入，且1/3=<k<=2）。易知双曲线两渐近线为y=(+-)2x,因此可设A(x1,2x1),B(x2,-2x2),P(xo,yo)其中x2<0<x1。得|OA|=5^0.5x1,|OB|=-5^0.5x2，设渐近线y=2x与y轴夹角为@,则有tan(pi/2-@)=cot@=2,pi=3.141592...则易得sin@=1/5^0.5,cos@=2/5^0.5,得sin2@=2sin@cos@=4/5,于是三角形AOB面积可表示为S=(1/2)＊|OA|＊|OB|＊sin2@=-(1/2)*5(x1x2)*(4/5)=-2x1x2,又向量AP=k向量PB，由定比分点公式（或向量坐标运算）易得xo=(x1+kx2)/(1+k),yo=2(x1-kx2)/(1+k)，又点P(xo,yo)在曲线上得4(x1-kx2)^2/[4(1+k)^2]-(x1+kx2)^2/(1+k)^2=1,化简整理得-4kx1x2=(k+1)^2,进而三角形面积S(k)=-2x1x2=(1/2)(k+1/k+2)>=(1/2)[2(k＊1/k)^0.5+2]=2,(当仅当k=1/k，即当k=1取等号),又S(1/3)=8/3>S(2)=9/4。因此，2=<S(k)<=8/3即为三角形面积取值范围。