Question

设函数f(x)=a^|x|+2/(a^x)（其中常数a>0且a≠1）

（1）当a＝10时，解关于x的方程f(x)=m（其中常数m>2√2；
（2）若函数f(x)在(-∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.

Answer 1

当x>0时，f(x) = a^x + 2/(a^x) = a^x + 2 * a^(-x)
当x = 0时，有f(0) = 1+2=3
当x<0时，有f(x) = a^(-x) + 2 * a^(-x) = 3 * a^(-x)

(1)
当a=10时，
如果x>0，则有f(x) = 10^x + 2*10^(-x) = m
设10^x = k，因为x>0，所以k>1。则k+2/k=m
即k^2 - mk + 2 = 0
解得k = m/2 + 根号(m^2 / 4 - 2) 或者k = m/2 - 根号(m^2 / 4 - 2)
所以x = lg(m/2 + 根号(m^2 / 4 - 2)
或者x = lg(m/2 - 根号(m^2 / 4 - 2)
注意，因为m>2*根号2，所以m^2 / 4 - 2 > 0，所以上面两个根是有意义的。

如果x<0，有3*10^(-x) = m
则10^(-x) = m/3
所以x = -lg(m/3)

(2)
因为x<0时，f(x) = 3 * a^(-x)，a>0且a!=1，所以f(x)在(-无穷，0)上是减函数。
f(0)=3,
x>0时，f(x) = a^x + 2 * a^(-x)，所以f(x)在定义域上是连续函数。
在x>0时有 f(x) >= 2*根号(a^x * 2 * a^(-x)) = 2*根号2。
当且仅当a^x = 2/a^x时取等号。此时a^(2x)=2，所以2x = log(a,2)
因为x<=2，所以2x<=4，即log(a,2)<=4，所以a^4<=2，因此有a<=4次根号下2
综上，a的取值范围是：
0<a<=4次根号下2,且a!=1

Answer 2

169864.45