Question

【高一数学】已知函数f(n)=cosnπ/5，则[f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)]/[f(11)+f(22)+f(33)]的值为

已知函数f(n)=cosnπ/5，则[f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)]/[f(11)+f(22)+f(33)]的值为？
这种题很不擅长。。求方法。有方法的追加分
你们的答案都不对啊 。。。答案是1

Answer 1

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=（cosπ/5+cos2π/5）+（cos3π/5+cos4π/5）=-（cos3π/5+cos4π/5）+（cos3π/5+cos4π/5）=0
∴[f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)]=【2009/4】*0+cos2009π/5=cos（4π/5+401π）=cos4π/5=f(4)
[f(11)+f(22)+f(33)]=f(1)+f(2)+f(3)=0-f(4)=-f(4)
∴原式=-1

这类题都是找规律，周期的

Answer 2

这种题就是找规律
f(1)=cos(π/5), f(2)=cos(2π/5), f(3)=cos(3π/5), f(4)=cos(4π/5), f(5)=cos(5π/5),=cosπ=-1
f(6)=cos(6π/5), f(7)=cos(7π/5), f(8)=cos(8π/5), f(9)=cos(9π/5), f(10)=cos(10π/5)=1
其中f(1)+f(6)=0 f(2)+f(7)=0 f(3)+f(8)=0 f(4)+f(9)=0
所以f(1)+f(2)+……+f(10)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)=f(2001)+f(2002)+……+f(2009)=-f(2010)=-1
而f(11)+f(22)+f(33)=f(1)+f(2)+f(3)=cos(π/5)+cos(2π/5),+cos(3π/5)
又因为cos(2π/5),+cos(3π/5)=0
所以f(11)+f(22)+f(33)=cos(π/5)=cos36
因为sin18=（√5-1）/4，cos18^2=(5+√5)/8
所以cos36=2cos18^2-1=（√5+1）/4
所以[f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)]/[f(11)+f(22)+f(33)]=-1/[（√5+1）/4]=1-√5.

Answer 3

找规律~ 注意三角函数的周期性 正弦余弦的周期为2π 正切余切周期为π
题目中为nπ/5 （nπ/5 ）/2π=1时 n的值为周期数 此题为10 所以 f（10）=f（0）
另外要熟悉三角函数的性质~可利用图形结合的方法~每个象限都可以变化到第一象限 例如
cos3π/5=-cos2π/5

Answer 4

f(1)=cos(π/5), f(2)=cos(2π/5), f(3)=cos(3π/5), f(4)=cos(4π/5), f(5)=cos(5π/5),=cosπ=-1
f(6)=cos(6π/5), f(7)=cos(7π/5), f(8)=cos(8π/5), f(9)=cos(9π/5), f(10)=cos(10π/5)=1
其中f(1)+f(6)=0 f(2)+f(7)=0 f(3)+f(8)=0 f(4)+f(9)=0
所以f(1)+f(2)+……+f(10)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)=f(2001)+f(2002)+……+f(2009)=-f(2010)=-1
而f(11)+f(22)+f(33)=f(1)+f(2)+f(3)=cos(π/5)+cos(2π/5),+cos(3π/5)
又因为cos(2π/5),+cos(3π/5)=0
所以f(11)+f(22)+f(33)=cos(π/5)=cos36
因为sin18=（√5-1）/4，cos18^2=(5+√5)/8
所以cos36=2cos18^2-1=（√5+1）/4
所以[f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)]/[f(11)+f(22)+f(33)]=-1/[（√5+1）/4]=1-√5.