Question

一道数学题，谢了

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1底面是直角三角形，C=90°，点B1在底面上的投影D落在BC上。1）求证：AC⊥平面BB1CC1
2）若AB1⊥BC1，且角B1BC=60°，求证，A1C‖平面AB1D

Answer 1

一，B1D⊥△ABC，则B1D⊥AC；而BC⊥AC。得到AC⊥平面BCC1B1。

二，AB1⊥BC1，且AD⊥B1D；则得到【△ADB1⊥平面BCC1B1】。

AC⊥BC，且A1C1⊥B1C1；则得到【平面ACC1A1⊥平面BCC1B1】。

所以，有△ADB1‖平面ACC1A1，因此，A1C‖△ADB1。 

注：不需要图中所做的一些试探性辅助线，请酌情删去！

Answer 2

证明：（1）∵点B1在底面上的投影D落在BC上
∴ B1D⊥平面ABC，即B1D⊥AB
∵C=90°，∴AC⊥BC
∵BC、B1D∈平面BB1CC1，BC∩B1D=D
∴AC⊥平面BB1CC1
（2）连接点B1、C，点A1B，C1B∩B1C=E,A1B∩AB1=F,连接D,F
∵平面BB1CC1 ∴AC⊥C1B,
∵AB1⊥BC1,AC∩AB1=A,AC、AB1∈平面AB1C
∴C1B⊥CB1
∵在平行四边形CBB1A1中，C1B平分B1C
∵角B1BC=60°
∴△CBB1是等边△
即B1C=B1B
∵在Rt△BDB1中，角DB1B=90°-角B1BC=30°
∴DB=½BB1=½BC
即D是BC的中点∵在平行四边形ABA1B1中，F为AB1的中点
∴DF‖＝½A1C（中位线）
∵DF∈平面AB1D
∴A1C‖平面AB1D

Answer 3

（1）点B1在底面上的投影D落在BC上，所以B1D⊥平面ABC，所以B1D⊥AC，
由已知AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1CC1
（2）连AB1，CB1
由（1）知AC⊥平面BB1CC1，所以AC⊥BC1，又AB1⊥BC1，所以BC1⊥平面ACB1
所以BC1⊥CB1，因为平行四边形B1BCC1的对角线BC1和CB1互相平分，所以BC1是CB1的中垂线，于是BB1=BC，由于角B1BC=60°，所以三角形BCB1是等边三角形。由于B1D⊥BC，因此D为BC中点。
设平行四边形ABB1A1的两条对角线的交点为E，连DE，则有DE//A1C
由于E是AB1的中点，所以DE是平面ADB1上的直线，所以A1C//平面AB1D

Answer 4

1） 因为B1在底面上的投影为D，所以B1D⊥平面ABC，可得B1D⊥AC
因为C=90°，所以AC⊥BC
因为BC，B1D同在平面BB1CC1上且交叉，所以AC⊥平面BB1CC1

Answer 5

证明：
（1）∵B1D⊥BC，D是B1在底面的投影
∴BB1CC1⊥A1B1C1
又∵C=90°，即AC⊥BC，A1C1⊥B1C1
∴AC⊥平面BB1CC1
（2）