Question

一个简单的初中数学题

已知：直线y=kx+b 过点P（1，4），与X轴，Y轴分别交于A，B两点，当三角形ABO的面积最小时，求k，b的值。

Answer 1

注明：为了让你看得更明白，我一步一步来。其中有些步骤可以省略。

解：先求A、B两点的坐标，
令y=0，则x=-b/k，则A点坐标为：(-b/k，0)，
令x=0，则y=b，则B点坐标为：(0，b)，
由于它的图象经过P(1，4)，所以代入解析式可得：4=k+b，则b=4-k，
所以
△ABO的面积
=1/2×|OA|×|OB|
=1/2×|-b/k|×|b|
=1/2×|-b^2/k|
=1/2×b^2/|k|
=(4-k)^2/2|k|
=(k^2-8k+16)/2|k|
=|k|/2+8/|k|-4k/|k|
可知k≠0，所以分两种情形：
(1)k>0时，|k|=k，则
△ABO的面积
=|k|/2+8/|k|-4k/|k|
=|k|/2+8/|k|-4
≥2√(|k|/2×8/|k|)-4=2√(4)-4=4-4=0·········①
等号当且仅当|k|/2=8/|k|时成立，解得k=4，相应的b=0，此时△ABO的面积最小为0；
(2)k<0时，|k|=-k，则
△ABO的面积
=|k|/2+8/|k|-4k/|k|
=|k|/2+8/|k|+4
≥2√(|k|/2×8/|k|)+4=2√(4)+4=4+4=8，········②
等号当且仅当|k|/2=8/|k|时成立，解得k=-4，相应的b=8，此时△ABO的面积最小为8；
综上，k、b的值有两对，分别是：k=4，b=0和k=-4，b=8。

注：本题①、②使用了一个基本不等式求面积的最小值：x+y≥2√xy；
由于(√x-√y)^2≥0，展开并整理，得：x+y≥2√xy；
其中√表示二次根号；

Answer 2

解：三角形面积=1/2*两直角边

设：A:a,0 B 0 ,c 坐标
把p带入的：k＋b＝4 k＝4－b

当x＝0，c＝b

当y＝0，a＝－b／（4－b）

所以面积＝1／2＊b＊－b／（4－b）

往下你自己算，就很简单了。
我就不算了。当b＝8,k = -4.

Answer 3

y=kx+b 过点P（1，4）
4=k+b,
A(-b/k,0),B(0,b)
S = b^2/[2|k|]
= (8/|k|) -4 + |k|/2
当k≥0时，
S≥2√(8×0.5) - 4 = 0
当且仅当k=4时，等号成立，此时b=0
当k<0时，S≤8
当且仅当k=-4时，等号成立，此时b=8

Answer 4

解：因为方程组的解是两个方程的公共解
所以欢欢看错了方程①中的a得出的解仍是方程②的解
4×（-3）-b（-1）=-2
解得b=10
同理迎迎得出的解是方程①的解
5a+5×4=15
解得a=-1
所以a=-1
b=10