Question

高等数学问题;

题目:球的方程:x^2+y^2+z^2=9,求∫(闭合)x^2dx
我的疑问:传统的对称法我知道了,我自己想了个方法做,可答案不对,请各位帮我看看,谢谢.
1.被积函数只与点的x坐标有关系
2.找到所有求表面x坐标相同的点,可以发现它们组成了平行于zoy面的圆圈
3.求出圆圈的半径是r=根号下9-x^2
4.然后求出圆的周长是2π根下9-x^2,我想这个周长就表示了该圆圈上点的个数,而且每个点上要求的量都是x^2,即某个圈上的要求的辆就是x^2*2π根下9-x^2.
5.最后求∫(-3,3)(x^2*2π根下9-x^2)dx
∫(闭合)x^2dx写错了,是∫(闭合)x^2ds

Answer 1

很明显错了。上面也没有一个说的靠点边。
你的想法是好的，但是处理出错了，你的做法实际上是将球用无限个平行于ZOY面的平面分割成无限个薄圆台，整个积分是对球面取得，无论你怎样换序，最后的积分还是必须取遍整个球面。而在这里分割后我们可以先对薄圆台的侧面积分然后沿X方向将所有关于圆台的积分相加也,你的错误 就是在对薄圆台侧面求积分出错了，由于在薄圆台的侧面上X值相同（近视的）所有 dS的和应该是薄圆台的侧面积（你取的是薄圆台侧面周长，少了一维）确切说是少乘以圆台侧面的宽，算下知道宽是3除以根号9- x^2
将你的被积函数乘以这个宽后是 6π乘以 x^2 然后对x 从-3到3积分得正确结果108π

Answer 2

这是错的。
我们首先假设题目是求的是ds的球面积分，这样我们的问题可以进行下去。
你在考虑对一个圆圈进行积分时事实上是把球面分成了无穷多个圆柱。你的错误在于将那些圆柱当成是平的了，事实上需要考虑他们表面的斜率。积分式为∫(-3,3)(x^2*2π根下9-x^2)*|x|/3dx结果是108pi
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积分式写反了是∫(-3,3)(x^2*2π根下9-x^2)*3/|x|dx

Answer 3

做得很好,不错,有创意

Answer 4

这个只能找书了

Answer 5

扩展的Fubini定理说，如果曲面S上定义了一个函数f，而且f只有离散的临界点，令S_c是由f=c定义的等值面（线），那么任意函数g对S的积分可以先在等值面上对g/|grad(f)|积分，然后再对f的值积分，这里 |grad(f)| 表示f的梯度的模。写成方程（用dA表示面元，ds表示线元，\int表示积分，_表示下标，^表示上标，f_min表示f最小值，f_max表示f最大值）
\int_S g dA = \int_{f_min}^{f_max} df \int_{S_c} g/|grad(f)| ds
对于你的例子，令f=x就行。但是注意到grad(x)=(1,0,0)需要先投影到球面的切平面，所以这里（\sqrt表示平方根）
grad(f)=( 1-x^2/9, -xy/9, -xz/9), |grad(f)| = \sqrt(9-x^2)/3
这样 \int_S x^2 dA
= \int_{-3}^{+3} dx \int_{S_x} 3x^2/\sqrt(9-x^2) ds
= \int_{-3}^{+3} 3x^2 dx / \sqrt(9-x^2) \int_{S_x} ds
= \int_{-3}^{+3} 3x^2 dx / \sqrt(9-x^2) 2\pi \sqrt(9-x^2)
= 2\pi \int_{-3}^{+3} 3x^2 dx
= 2\pi x^3_{-3}^{+3}
= 108 \pi