Question

二次函数题目

抛物线过A（4,0）B（1,0）C（0，-2）三点
问一：直线AC上方抛物线找一点D使得三角形ACD面积最大（给我解释解释）
问二：P是抛物线移动点，过P作PM垂直x轴，垂足为M，是否存在P使三角形APM与三角形OAC相似？求出P坐标

Answer 1

（1）由A、B点的坐标可设抛物线方程为y=a(x-4)(x-1),将C点坐标代入可得a=-1/2
设D点坐标为（α,β）则满足β=-1/2(α-4)(α-1)
由A、C坐标可得直线AC方程为x-2y-4=0
D点到A、C距离d=（α-2β-4）的绝对值/√5
=（α^2-4α）的绝对值/√5 因为D在直线AC上方故0≤α≤4
易知当α=2时，d最大，为4/√5
所以三角形ACD面积最大为S=1/2√（16+4）*4/√5=4
（2）设P点坐标为(a,b),由题意可知有两种情况
①当三角形OCA与三角形MPA相似时
OC/OA=PM/AM=1/2
[b/(a-4)]的绝对值=1/2 因为b=-1/2（a-4)(a-1)
代入得(a-1)的绝对值=1
a=2 b=1 或a=0 b=-2(此时为原三角形，应舍去）
P(2,1)
②当三角形OCA与三角形MAP相似时
OC/OA=AM/PM=2
其余同上，易得
a=5 b=-2 或a=-3 b=-14
P(5,-2)或P（-3,-14）
希望能对你有帮助！