Question

椭圆方程为(x²\4)+(y²\3)=1两焦点A（-1,0）B（1,0）,过点A与椭圆交与P,Q两点，求△PBQ的内切圆

Answer 1

解：设过点A的直线方程x=my-1
椭圆方程：x²/4+y²/3=1
代入
3(m²y²-2my+1)+4y²=12
(4+3m²)y²-6my-9=0
y1+y2=6m/(4+3m²)
y1*y2=-9/(4+3m²)
求三角形PBQ内切圆的面积的最大值，那么就是求内切圆的半径的最大值
我们知道内切圆半径r=2S/三角形周长
而此题中，三角形的周长=4a=8为定值，所以我们就求S的最大值
S为三角形PBQ的面积
S=1/2×｜1-0+1｜/√(1+m)²×√(1+m)²[(y1+y2)²-4y1y2]
=√[(y1+y2)²-4y1y2]
令t=(y1+y2)²-4y1y2=36m²/(4+3m²)²+36/(4+3m²)=36[(m²+4+3m²)/(4+3m²)²]
=144(m²+1)/(9m^4+24m²+16)
=144(m²+1)/[9m²(m²+1)+15(m²+1)+1]
=144/[9m²+15+1/(m²+1)]
=144/[9(m²+1)+1/(m²+1)+6]
9/(m²+1)+1/(m²+1)的最小值=6
所以t的最大值=12
那么S的最大值=√12
r最大值=2×√12/8=√3/2
那么内切圆面积的最大值=πr²=3π/4

Answer 2

那么S的最大值=√12
r最大值=2×√12/8=√3/2
那么内切圆面积的最大值=πr²=3π/4