Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD，PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC中点。 （1）求证：BM‖平面PAD

(2)在△PAD内找一点N,使MN⊥平面PBD
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值

Answer 1

证明：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB
所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE
又AE⊂平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；
解：（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z）

MN
＝(−1，Y−1，Z−1)，

PB
＝(1，0，−2)，

DB
＝(1，−2，0)

MN
•

PB
＝0

MN
•

DB
＝0

，得y＝
1
2
，z＝
1
2
，
所以N＝(0，
1
2
，
1
2
)，即N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD，
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
易得

PC
＝(2，2，−2)，

MN
＝(−1，−
1
2
，−
1
2
)
设

PC
与

MN
的夹角为α，则cosα＝

PC
•

MN

|

PC
||

MN
|

＝−

2

3
，sinθ＝−cosα＝

2

3

故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

2

3