Question

已知F1，F2是椭圆X2/a2+y2/b2=1的两个焦点，P是椭圆上的一点，角F1PF2=60°，1、求椭圆离心率的取值范围，

2、求证三角形F1PF2的面积与短轴长度有关

Answer 1

分析：不妨设椭圆方程=1(a＞b＞0)，运用椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,在△F1PF2中运用余弦定理即可.

(1)解:设椭圆方程=1(a＞b＞0)，

由余弦定理得

cos60°=

=.

|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,∴3|PF1|·|PF2|=4b2，

∴|PF1|·|PF2|=.

又∵|PF1|·|PF2|≤()2=a2,

∴3a2≥4(a2-c2),∴≥,∴e≥.

又∵椭圆中0＜e＜1.∴所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.

(2)证明：由（1）可知|PF1|·|PF2|=,

S=|PF1|·|PF2|sin60°=××=b2.

∴△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

点拨：在用余弦定理时，始终保持|PF1|2+|PF2|2的形式不变，不能联系定义，则难以进行.

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