Question

已知向量a=(cosa,sina),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)。 （Ⅰ）求向量b+c的长度的最大值； （Ⅱ）设a=π/4，且

Answer 1

1. b^2=1,c^2=1, b·c=-cosβ
(b+c)^2=b^2+c^2-2b·c=2-cosβ, ∵ 1≤2-cosβ≤3,
∴ (b+c)^2≤3,|b+c|≤√3,即向量b+c长度的最大值为√3.
2. a⊥(b+c),a·(b+c)=0,(cosα,sinα)·(cosβ-1,sinβ)=0,
cos(α-β)=cosα,α=π/4,cos(π/4-β)=cos(π/4),
∴ (π/4)-β=π/4或(π/4)-β=-π/4, β=0或β=π/2,
∴ cosβ=1或cosβ=0.

Answer 2

答案(1)2 (2)0
(1)b+c=(cosβ-1,sinaβ）
长度就是 根号下 sinβ^2+cosβ^2+1-2cosβ 就是 根号下 2-2coosβ
当cosβ=-1时 最大长度 2
(2)因为垂直 所以 cosπ/4(cosβ-1)+sinπ/4sinβ=0
根号2/2cosβ+根号2/2sinβ=根号2/2
所以cosβ=0

Answer 3

（Ⅰ）向量b+向量c=(cosβ -1，sinβ)
|向量b+向量c|=根号下（2-2cosβ）
因为cosβ属于[-1,1]
所以 |向量b+向量c|max=2
（Ⅱ）因为a⊥(b+c),
所以a·(b+c)=0，即cosα（cosβ-1)+sinαsinβ=0
cos(α-β)=cosα
又因为α=π/4
π/4-β=π/4
所以β=0
即cosβ=1