Question

已知函数f（x）时定义在R上的偶函数，且满足f(x+1)=-f(x),当x∈（0,1）时，f(x)=lgx,则f(-2010.1)=

Answer 1

根据f(x+1)=-f(x)
令x+1=u，有f(u)=-f(u-1)，即f(x)=-f(x-1)
有f(x+1)=-f(x)=f(x-1)
令x-1=u，x+1=u+2
即f(u)=f(u+2)，f（x）是周期为2的函数。
f(x)为偶函数，f(-2010.1)=f(2010.1)=f(1005*2+0.1)=f(0.1)=lg(0.1)= -1

Answer 2

f(x+k)=f(x+k-1+1)=-f(x+k-1)=f(x+k-2)=-f(x+k-3)...=(-1)^k × f(x)
f(-2010.1)=f(2010.1)=(-1)^2010 × f(0.1) = lg0.1 = -1